线性空间

参考资料：
《线性代数》第三章
https://www.acwing.com/video/2274/
《进阶指南》

定义

• 称 \((a_1,a_2,…,a_k)\) 为 \(k\) 维向量 \(\bold{a}\)，其中 \(a_i \in \R\) 称为 \(k\) 维实向量。每个维度之间没有关系。

• 若干个同维数向量的组合称为向量组。向量组可以是无限的。

• 向量的线性运算包括数乘和加减运算，具有所有运算律。

• 若存在向量 \(\bold{b}\) 可以由向量组 \(\bold{a_1,a_2,…}\) 通过线性运算表示出来，则称 \(\bold{b}\) 能被 \(\bold{a}\) 线性表出。

• 对于向量组 \(\bold{a_1,a_2,…}\)，所有能被它表出的向量构成一个向量线性空间，它称为 \(\bold{a_1,a_2,…}\) 的子空间。\(\bold{a_1,a_2,…}\) 称为该空间的生成子集。

• 若向量组 \(\bold{a_1,a_2,…}\) 中任意元素都可以被向量组 \(\bold{b_1,b_2,…}\) 表出，那么显然向量组 \(\bold{b_1,b_2,…}\) 中任何元素也可以被向量组 \(\bold{a_1,a_2,…}\) 表出。称它们等价。

• 若向量组 \(\bold{a_1,a_2,…}\) 满足对于非全零的 \(k_1,k_2,…\) 使得 \(\sum \bold{a_i} k_i = \bold{0}\) 成立，那么称 \(\bold{a_1,a_2,…}\) 线性相关。否则称 \(\bold{a_1,a_2,…}\) 线性无关。

  • 与之等价的定义：对于任意的 \(i\)，有 \(\bold{a_i}\) 可以被向量组 \(\bold{a_1,a_2,…}\) 中其他的向量构成的向量组表出，则称 \(\bold{a_1,a_2,…}\) 线性相关。否则，一定不存在 \(i\) 满足该结论，称 \(\bold{a_1,a_2,…}\) 线性无关。

• 一个向量组 \(\bold{a}\) 的极大线性无关组的定义：从 \(\bold{a}\) 中可以找到若干个向量组成新的向量组 \(\bold{a’}\)，并且 \(\bold{a’}\) 满足：

  • 其线性无关。
  • 将任何一个除 \(\bold{a’}\) 中元素之外的向量加入该组，该组均变得线性相关。

• 向量组 \(a_1 = \{1,…,0\}, a_2 = \{0,1,…,0\},…\}\) 线性无关。
  证明：考虑构造非全零的 \(k_1,k_2,…\) 使得 \(\sum \bold{a_i} k_i = \bold{0}\) 成立。那么我们将向量组看成一个按行分块的矩阵，其系数为 \(k_i\)，右边加上一堆零生成的增广矩阵也就是原线性方程组。那么进行任意次矩阵的线性变换之后，该矩阵表示的向量组均与原向量组等价。

  • 因此对于该分块矩阵，解出唯一解为 \(k_1=k_2=…=0\)，因此不成立。故原向量组线性无关。

• 对于向量组，我们可以对其生成的按行分块的矩阵进行高斯消元化成简化阶梯形矩阵后，留下的所有非零向量构成的向量组都为原方程组的极大线性无关组。

  • 证明：反证。如若不然，则第一个元素可以被后面其他的该行元素线性表出。（注意维度之间没有关系，若干个向量加起来是 \(\bold{0}\)，也就是说这些向量每一个维度的和都是 \(0\)，这点由零向量的定义 \(\bold{0} = (0,0,…,0)\) 得出。）

• 一个向量组的极大线性无关组不唯一，但其内元素个数都相等。

  • 高斯消元过程中无论如何切换元素，自由元的个数是一样的，也就是说非零行的个数一样，也就是极大线性无关组内个数一样。
  • 这个个数称作这个向量组的秩（rank）。

原文地址：http://www.cnblogs.com/Zeardoe/p/16826829.html