Description

给定一个长度为 \(N\) 的数组 \(a\)，求出其中长度最长的子序列，满足这个子序列能通过一个栈进行排序满足单调不降。

\(N \le 50,a_i\le 50\)

Solution

数据范围较小，考虑区间 DP。

因为要控制值域的条件，所以 DP 数组加上两维控制值域。

即：\(f_{i,j,x,y}\) 表示从第 \(i\) 个数到第 \(j\) 个数，限制所有数的值域在 \([x,y]\) 范围内，最多满足条件的数字个数。

考虑转移：

  • 删除 \(a_i\)，则 \(f_{i,j,x,y}=f_{i+1,j,x,y}\)。
  • 不删除 \(a_i\),则 \(a_i\) 首先要满足 \(a_i \in [x,y]\)，然后枚举 \(k\)，如果在加入 \(a_k\) 之后加入 \(a_i\)，则有转移 \(f_{i,j,x,y}=\max\limits_{i < k < j} \left( f_{i+1,k,x,a_i}+f_{k+1,j,a_i,y}+1 \right)\)。

总共有 \(O(N^4)\) 种状态，转移 \(O(N)\)，时间复杂度 \(O(N^5)\)。

Code

记忆化搜索即可。

code 
// LUOGU_RID: 91696925
/*******************************
| Author:  A.I.skeleton
| Problem: G - LIS with Stack
| Contest: AtCoder - AtCoder Beginner Contest 262
| URL:     https://atcoder.jp/contests/abc262/tasks/abc262_g
| When:    2022-10-27 08:37:43
| 
| Memory:  1024 MB
| Time:    2000 ms
*******************************/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define me(t,x) memset(t,x,sizeof(t))
#define L(i,j,k) for(int (i)=(j);i<=(k);(i)++)
#define FST ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);
const int N=55;int n,a[N],f[N][N][N][N];
int dfs(int l,int r,int x,int y){
  if(l>r||x>y) return 0;if(~f[l][r][x][y]) return f[l][r][x][y];
  int g=dfs(l+1,r,x,y);if(a[l]<x||a[l]>y) return f[l][r][x][y]=g;
  L(k,l,r) g=max(g,dfs(l+1,k,x,a[l])+dfs(k+1,r,a[l],y)+1);
  return f[l][r][x][y]=g;
}int main(){
  FST;cin>>n;L(i,1,n) cin>>a[i];
  me(f,-1);cout<<dfs(1,n,1,50)<<endl;
}

原文地址：http://www.cnblogs.com/AIskeleton/p/16831617.html

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