首先有 \(\mathcal O(n^2k)\) 的暴力 DP。
设 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个数分成 \(j\) 段的最小和,枚举转移点 \(k\):\(f_{i,j}=\min\left\{f_{k,j-1}+(s_i-s_k)\bmod p\right\}\),其中 \(s\) 表示 \(a\) 的前缀和。
这时要注意到关键性质:\(f_{i,j}\equiv s_i\pmod p\)。
证明的话数学归纳一下就好了,大抵就是 \((a+b)\bmod p=((a\bmod p)+(b\bmod p))\bmod p\)。
那么对于 \(f_{i,j}\) 的两个转移点 \(x,y(x\ne y,x,y\lt i)\),设 \(w_x=(s_i-s_x)\bmod p,w_y=(s_i-s_y)\bmod p\)。
那么就是要在 \(f_{x,j-1}+w_x\) 和 \(f_{y,j-1}+w_y\) 中选最小。
假设 \(f_{x,j-1}\le f_{y,j-1}\),那么由于 \(f_{x,j-1}+w_x\equiv f_{y,j-1}+w_y\pmod p,w_x,w_y\lt p\),所以 \(f_{x,j-1}+w_x\) 一定不大于 \(f_{y,j-1}+w_y\)。
所以对于每个 \(j\) 记录一下最小的 \(f_{i,j}\) 的位置 \(i\) 即可,从这个 \(i\) 转移来一定是最优的。
时间复杂度 \(\mathcal O(nk)\)。
Code:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 500005, M = 105;
int n, k, p;
int a[N];
int f[N][M], g[2][M];
void chkmin(int &a, int b) {
if (a > b) a = b;
}
int main() {
scanf("%d%d%d", &n, &k, &p); for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &a[i]), a[i] %= p, a[i] = (a[i] + a[i - 1]) % p;
memset(f, 0x3f, sizeof f), f[0][0] = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
for (int j = 1; j <= k; ++j)
f[i][j] = min(f[i][j], f[g[(i - 1) & 1][j - 1]][j - 1] + (a[i] - a[g[(i - 1) & 1][j - 1]] + p) % p);
for (int j = 0; j <= k; ++j) {
g[i & 1][j] = g[(i - 1) & 1][j];
if (f[i][j] < f[g[i & 1][j]][j]) g[i & 1][j] = i;
}
}
printf("%d", f[n][k]);
return 0;
}
原文地址:http://www.cnblogs.com/Kobe303/p/16848999.html
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