1391C – Cyclic Permutations(⇔源地址)
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⇔思维、⇔组合数学、⇔数论、⇔图论、⇔*1500。
看起来是大杂烩题,实际上只用到了各个知识点的定义,只要深入的掌握这些定义,这就是一道结论题。
题意
给出一个长度为 \(N\) 的全排列,用 \(a_1a_2a_3…a_N\) 表示,对于每一个位置的数 \(a_i\) ,分别找到其左、右大于其的第一个数,记为 \(a_l,a_r\) ,建图连结 \(a_i,a_l\) 和 \(a_ia_r\) 。
对于这样操作所构造的图,如果它存在一个环,那么称这个图是GOOD。
现在给出 \(N\) ,求解所有长度为 \(N\) 的全排列构造的 \(N\) 张图有多少张是GOOD的。
思路
这是一道思维题。容易发现,无论怎么连,这张图上至少有 \(N-1\) 条边,因为除了最大的那个数以外每个数都至少跟一个点连结。
再由图论基础知识,对于一棵树,只需要再连任意一条边就会成环,而我们发现,无法再连边的排列比较好构造,即拥有单峰的序列。那么,答案即为:能构造出的全部合法序列的数量减去单峰序列的数量。
现在问题在于怎么求解单峰序列。我们移走最大的那个数,对于剩下的 \(N-1\) 个元素,我们从中任选 \(0,1,2,…,N-1\) 个放到峰左边,剩下的放峰右边,根据组合数公式,得到这样一共有 \(2^{N-1}\) 种合法单峰序列。
最终,答案即为 \(N!-2^{N-1}\) ,套用 \(\tt Zmod\) 函数无脑求解即可。
AC代码
点击查看代码
using namespace Zmod;
signed main() {
ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
int n; cin >> n;
Z ans = 1;
for (int i = 1; i <= n; ++ i) ans *= i;
ans -= mypow((Z)2, n - 1);
cout << ans;
return 0;
}
错误次数:0
文 / WIDA
2022.11.01 成文
首发于WIDA个人博客,仅供学习讨论
原文地址:http://www.cnblogs.com/WIDA/p/16849522.html
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