积性函数
概念
数论函数
定义域为正整数的函数称为数论函数。
积性函数
对于数论函数 ,若任意互质的 \(p,q\) 都有 \(f(pq)=f(p)f(q)\),则称 \(f\) 是积性函数。
完全积性函数
对于数论函数 ,若任意 \(p,q\) 都有 \(f(pq)=f(p)f(q)\) ,则称 \(f\)是完全积性函数
定义逐点加法
\((f+g)(x)=f(x)+g(x),((f⋅g)(x)=f(x)g(x)\)
定理
积性函数一定满足 \(f(1)=1\)
证明: 显然 \(1\) 与任何数都互质,满足积性函数的定义,那么我们假设存在一个正整数 \(a\) 满足 \(f(a)!=0\),显然有:\(f(1×a)=f(1)×f(a)\),两端同除 \(f(a)\) ,得:\(f ( 1 ) = 1\),性质得证
对于一个大于 1 11的正整数 N ,根据唯一分解定理有\(N=p_1^{c_1}p_2^{c_2}…p_m^{c_m}\),
则
对于任意积性函数 \(f\) 有: $ f(N) = f(\prod p_i^{a_i}) = \prod f(p_i^{a_i})$
若 \(f\) 完全积性 \(f(N) = \prod f(p_i)^{a_i}\)
由此可得推论:凡是积性函数均可用线性筛法求解
若 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 均为积性函数,则以下函数也为积性函数:
常见积性函数
狄利克雷卷积
原文地址:http://www.cnblogs.com/kingwz/p/16861520.html
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