1. 第1章 线性空间与线性映射

    1. 求解过渡矩阵(表示矩阵)并进行坐标变换;

      空间Vn(F)ξ=[ξ1⋯ξn]η=[η1⋯ηn]是基,T是线性变换,α∈Vn(F)任意。

      1. 已知αξ下的坐标为x=[x1⋮xn]ξ→η的过度矩阵为C,则αη下的坐标为y=C−1x
      2. 已知Tξ下的表示矩阵为Aξ→η的过度矩阵为C,则Tη下的表示矩阵为B=C−1AC
      3. 已知αξ下的坐标为x=[x1⋮xn]Tξ下的表示矩阵为A,则T(α)ξ下的坐标为z=Ax
    2. 证明WV的子空间

      1. 寻找一个元素α0∈W说明W是非空集合(一般地可以选择零元素);
      2. 证明W中的元素对加法封闭:∀α1,α2∈W,  (α1⊕α2)∈W
      3. 证明W中的元素对数乘封闭:∀α∈W,k∈F,  k∘α∈W
    3. 求子空间W的基以及它的维数

      V的基为ξ=(ξ1⋯ξn)W={x=ξ⋅k | p(k) is true}p是系数k的约束,∀α∈W

      则可知α∈V也成立,不妨设αV下的坐标为k=(k1⋮kn)∈Cn任意,p对应的约束方程为Ak=0

      不妨其基础解系为η=[η1⋯ηr],则k=η⋅c,其中c∈Cr任意,所以α=ξ⋅k=ξη⋅c

      ∀α∈W都能由ξη线性表示;②ξ是线性无关组,η也是线性无关组,所以ξη也是线性无关组。所以ξηW的一组基,dim⁡(W)=rank⁡(η)

      在作答时,只需书写如下步骤:①计算p(k)对应的齐次方程Ak=0的基础解系η; ②所以dim⁡(W)=rank⁡(η); ③且W的一组基为ξη

    4. 求空间的交集与并集的维数以及基

      不妨设V1=span{α1,⋯,αr}=span(A)V2=span{β1,⋯,βs}=span(B)αi,βj∈Cm

      1. V1+V2维数和基

        [A,B]的Hermite标准形H,则dim⁡(V1+V2)=rank⁡([A,B]),基为[A,B]中对应于的ei(H)的极大无关组。

        可以通过满秩分解来求:不妨设[A,B]=FG,则dim⁡(V1+V2)=rank⁡(G),基就是F

      2. V1⋂V2维数和基

        ∀η∈V1⋂V2η=A⋅a=B⋅(−b),即有[A,B]⋅[ab]=0,即解出齐次方程[A,B]x=0

        基础解系为ξ=[ξ1,⋯,ξt](r+s)×t=[(ξ1aξ1b)⋯(ξtaξtb)]=[ξaξb],系数为k=[k1⋮kt],则通解[ab]=ξ⋅k

        所以解出:a=ξa⋅kb=ξb⋅k。代入得η=A⋅ξa⋅k=Aξa⋅k=B⋅(−ξb⋅k)=−Bξb⋅k

        而由于k是一个t维的自由向量(即有t个自由变元),所以不妨令γ=Aξa=−Bξb=[γ1,⋯,γt],由于A线性无关、ξa线性无关,所以Aξa线性无关,B线性无关、ξb线性无关,所以Bξb线性无关。即有γ线性无关,而V1⋂V2中的任意向量η都能被γ线性表示出来,所以可以得出γ即是V1⋂V2的基,dim⁡(V1⋂V2)=t

        线性无关组α=[α1,⋯,αr]β=[β1,⋯,βs],则α⋅β也是线性无关组。

        αβ⋅k=[α1⋯αr]⋅[β1⋯βs]⋅[k1⋮ks]=[α1⋯αr]⋅[∑i=1sβi(1)ki⋮∑i=1sβi(r)ki]=α1⋅∑i=1sβi(1)ki+⋯+αr⋅∑i=1sβi(r)ki=∑j=1rαj⋅∑i=1sβi(j)ki

        αβ⋅k=0可得:∑j=1rαj⋅∑i=1sβi(j)ki=0,而α是极大无关组,所以∑i=1sβi(j)ki=0j=1∼r

        所以有[∑i=1sβi(1)ki⋮∑i=1sβi(r)ki]=0,即有β⋅k=0,而β是线性无关组,所以只有k=0,即证αβ也是线性无关组。

        在作答时,只要书写如下步骤:①计算齐次方程[A,B]x=0的基础解系为ξ=[ξaξb]; ②又因为γ=Aξa=−Bξb,所以V1⋂V2中的任意向量η都能被γ线性表示出来; ③即有dim⁡(V1⋂V2)=rank⁡(γ)V1⋂V2=span(γ)

    5. αβ的线性变换Tα下的表示矩阵(α→β的过渡矩阵)

      已知V中的两个基:α=[α1⋯αr]β=[β1⋯βs]T(α)=β=α⋅T,其数域F=Cm。将αiβj按照统一位次次序拉伸为向量形式,得到两组基对应的可逆矩阵AB

      ∀η∈V非零向量,在基αβ下的坐标分别为a=[a1⋮ar]b=[b1⋮bs]a∈Cr,b∈Cs任意非零向量。

      即有η=α⋅a=β⋅b,按统一位次次序一一对应后有A⋅a=B⋅b,由于ab都是非零向量,且由题意α可以向β变换,所以a是有解的,故有通解为a=A+B⋅b+(Ir−A+A)⋅yy∈Cr任意。

      故代入η并结合α⋅T=β得出等式:α⋅(A+B⋅b+(Ir−A+A)⋅y)=α⋅T⋅b

      化简即有:α⋅(A+B−T)⋅b=α⋅(Ir−A+A)⋅y,由dim⁡(α)=r得:rank⁡(A)=r⇔A+A=Ir

      即有最后的等式:α⋅(A+B−T)⋅b=0。由于αV中的一组基,所以只有坐标(A+1B−T)⋅b=0时上述等式成立;又由于bs维自由向量(解向量bs个自由变元),所以有Tα下的表示矩阵为A+1B

      但是在实际作答过程中不能书写此步骤,此步骤只是作为辅助手段,帮助我们快速确定αβ之间的转换关系。所以在做题时需要老老实实写出βjα之间的关系:β=α

      只有当你能确定α可以向β进行转换时才能使用该方法,因为降维变换是不可逆的。

      A−1存在时,A+=A−1

    6. 核子空间与象子空间

      1. 核子空间N(T)={x∈V: Tx=0},所以dim⁡(N(T))=n−rank⁡(T)
      2. 象子空间R(T)={y=Tx, x∈V},所以dim⁡(R(T))=rank⁡(T)
  2. 第2章 内积空间

    1. 正交投影矩阵与坐标变换

      RmL=span{α1,⋯,αn}=span{A},则正交投影矩阵为PL=A(ATA)−1AT

      η∈RmL上的正交投影为y=PL⋅η,在L⊥上的正交投影为z=η−y

  3. 第3章 相似矩阵

    1. 求解Jordan标准形的两种方法

      1. 相似变换秩不变:r(λI−A)k=r(λI−J)k,其中k可以从1开始取,直到筛选出唯一的J
      2. 初等因子组:求解行列式因子Di(λ),再求不变因子di(λ)=Di(λ)Di−1(λ),最后求每个不变因子中的非1因式;
    2. 求解Jordan相似变换矩阵

      利用AP=PJ可以得出方程组APi=Pi⋅λi+Pi−1⋅Ji−1,i,其中Ji−1,i=0∨1

      1. Ji−1,i=0时,Pi就是矩阵A的特征值为λi的特征向量 ⇔Pi是方程(λiI−A)x=0的通解;
      2. Ji−1,i=1时,Pi就是方程(λiI−A)x=−Pi−1的通解,其特解的自由变元为0;

      最后需要满足P是可逆矩阵,即要求其行列式不为0,求出Pi中各个自由参数的约束,并取特殊值代入。

  4. 第4章 范数理论

    1. 求矩阵范数

      1. ‖A‖m1=∑i,j|aij|
      2. ‖A‖m∞=max(m,n)⋅maxi,j(|aij|)
      3. ‖A‖F=∑aij2=tr⁡(AHA)=∑λAHA(i)
      4. 任意向量范数可被定义为:‖x‖α=‖xαT‖α=repT(1,n)
    2. 求矩阵算子范数

      1. 与向量1-范数相容的矩阵列和范数:‖A‖1=maxj∑iaij(列模和的最大值);
      2. 与向量范数相容的矩阵行和范数:‖A‖∞=maxi∑jaij(行模和的最大值);
      3. 与向量2-范数相容的矩阵谱范数:‖A‖2=λAHA(1);(AHA的最大特征值的根);
      4. 当然与向量2-范数相容的还有矩阵F范数‖A‖F
      5. 任意矩阵算子范数可以被定义为:‖A‖=maxx≠0‖Ax‖α‖x‖α=max‖x‖α=1‖Ax‖α
    3. 证明实值函数‖x‖ACn上的一种向量范数

      1. 正定性:‖x‖A≥0,且‖x‖A=0⟺x=0
      2. 齐次性:‖kx‖A=|k|‖x‖A
      3. 三角不等式:‖x1+x2‖A≤‖x1‖A+‖x2‖A
    4. 证明实数‖A‖A的矩阵范数

      1. 正定性:‖A‖≥0,且‖A‖=0⟺A=0
      2. 齐次性:‖kA‖=k⋅‖A‖
      3. 三角不等式:‖A+B‖=‖A‖+‖B‖
      4. 相容性:‖AB‖≤‖A‖⋅‖B‖
    5. 用向量范数‖·‖α构造另一个向量范数‖·‖β;(三种性质均通过β范数搭桥)

    6. 用矩阵范数‖·‖α构造另一个矩阵范数‖·‖β;(四种性质均通过β范数搭桥)

    7. 利用盖尔圆孤立特征值

      1. 求行盖尔圆和列盖尔圆

        行盖尔圆为:列盖尔圆为:行盖尔圆为:Sk:|z−akk|≤∑j≠kn|akj|    列盖尔圆为:Gk:|z−akk|≤∑i≠kn|aik|

      2. 如果不能完全孤立所有的盖尔圆,则使用对角阵增大孤立盖尔圆半径并缩小连通盖尔圆半径

        1. 设独立的行盖尔圆有r个,编号为x=[x1⋯xr];独立的列盖尔圆有c个,编号为y=[y1⋯yc]
        2. 选择孤立盖尔圆多的方向,即编号为z=[z1⋯zm]=r≥c ? x:y的行或列盖尔圆,增大孤立盖尔圆半径Rzkk=1∼m;缩小连通盖尔圆半径Rii≠zkk=1∼m
        3. 令对角阵D=[δ1⋱δn]δi={dk i=zk, k=1∼m1otherwise增大行盖尔圆半径增大列盖尔圆半径dk={0<dk<1增大行盖尔圆半径1<dk增大列盖尔圆半径,一般选择12或者2。则有B=D−1ADA有相同特征值,所以B的行列盖尔圆也可以隔离A的特征值。

      如果行列盖尔圆中独立盖尔圆的并集包含所有盖尔圆,则所有的盖尔圆独立;

      实矩阵A的盖尔圆都孤立,则说明A的特征值全为实数;

      实矩阵的复特征值一定是成对出现的,因为实矩阵的行列式是实数,其值为特征值之积;

    8. 几个重要的范数不等式(p,q为共轭指数:1p+1q=1

      构造Holder范数为‖x‖p=(∑|xk|p)1p(证明满足(1)正定性; (2)齐次性; (3)三角不等式)。

      1. Holder不等式(祖宗不等式)

        ,即有∑k=1n|akbk|=∑k=1n|ak||bk|≤(∑k=1n|ak|p)1p(∑k=1n|bk|q)1q,即有:(a,b)≤(|a|,|b|)≤‖a‖p‖b‖q

      2. Cauchy-Schwarz不等式(p=q=2时的Holder不等式)

        ,即有∑k=1n|akbk|=∑k=1n|ak||bk|≤(∑k=1n|ak|2)12(∑k=1n|bk|2)12,即有(a,b)≤(|a|,|b|)≤‖a‖2‖b‖2

      3. 多重Holder不等式(m个n维向量的Hadamard积形式:(⨀|Xi|,rep(1,n))=‖⨀|Xi|‖1

        ,即有∑k=1n∏i=1m|Xik|≤∏i=1m(∑k=1n|Xik|pi)1pi,即有(⨀i=1mXi,rep(1,n))≤‖⨀i=1m|Xi|‖1≤∏i=1m‖Xi‖pi

      4. Minkowski不等式(Holder范数的三角不等式)

        ,即有(∑k=1n|ak+bk|p)1p≤(∑k=1n|ak|p)1p+(∑k=1n|bk|p)1p,即有‖a+b‖p≤‖a‖p+‖b‖p

    9. 均值不等式中1-范数与2-范数的关系

      算术平均数平方平均数{算术平均数:An=∑inxin=x1+⋯+xnn=1n⋅‖x‖1平方平均数:Qn=∑inxi2n=x12+⋯+xn2n=1n⋅‖x‖2

      由算术平均数平方平均数可得:‖x‖1≤n⋅‖x‖2,而根据俩范数的定义我们知道:‖x‖2≤‖x‖1,所以最终我们得出:‖x‖2≤‖x‖1≤n⋅‖x‖2

  5. 第5章 矩阵分析

    1. 最小多项式求f(At)

      1. 求解最小多项式mA(λ)

        首先求解|λI−A|=cA(λ)=∏i=1n(λ−λi)ci,然后查看∏i=1n(λ−λi)ri是否是零矩阵,如果是则求出最小多项式为mA(λ)=∏i=1n(λ−λi)ri,其中ri=1:ci

      2. A的多项式近似f(At)(待定系数)

        构造函数r(λ)=∑i=0m−1ai⋅λi,其中的m是指最小多项式mA(λ)的最高次数。用rA(λ)近似f(λ)即要满足:

        ,其中的重数f(k)(λi)=r(k)(λi),其中k=1:(λi的重数)

        解得ai代入rA(λ),最后f(At)=r(At)=∑i=0m−1ai⋅Ai即可获得f(At)对应的A多项式。

    2. 用Jordan标准形求f(At)

      不妨设JiA的第i个Jordan块,kiλi的重数,则有(行泰勒展开项)

      f(Jit)=[f(λit)ddλf(λt)|λ=λi⋯1(ki−1)!d(ki−1)dλ(ki−1)f(λt)|λ=λi0f(λit)ddλf(λt)|λ=λi⋮00⋱⋮⋮⋮⋮0⋯⋯f(λit)]

      f(At)=P⋅f(Jt)⋅P−1得出:f(At)=P⋅diag({f(Jit)})⋅P−1

    3. 求解一阶微分方程组

      x(t)=eA(t−t0)⋅c+eAt⋅∫t0te−Au⋅f(u) du

    4. 矩阵求导与向量求导

      导数的结构首先由分母的布局决定,其中的元素由分子的布局决定。

      1. ddx(xTAx)=Ax
      2. ddX(tr⁡(AX))=AT
      3. ddx(Ax)=[a11⋯amn]T
      4. ddx(xTAT)=AT
      5. ddA(tr⁡(A))=In
  6. 矩阵分解

    1. 满秩分解及其广义逆

      求得A的Hermite标准形(行最简标准形),记为AH=[G0],然后取FA中对应于AH的极大线性无关组。

      A+=GH(GGH)−1(FHF)−1FH

    2. 奇异值分解及其广义逆

      1. 首先求出AHA的特征值,取其非0特征值为λ1:r(递减),则A的奇异值为σ1:r=λ1:r
      2. 然后令Σ=diag({σi}),则V1λ1:r对应的特征向量,然后取与V1单位正交的V2
      3. U1=AV1Σ−1,取与U1单位正交的U2
      4. A=U[Σ0T00]VHA+=V[Σ−10T00]UH

      由于V2V1正交,所以求V2即求V1Hx=0的基础解系的单位向量;同理U2U1Hx=0的基础解系的单位向量。

    3. 正交三角分解

      1. Schmidt正交化

        βs=αs−∑i=1s−1<βi,αs><βi,βi>βi=αs−β1:s⋅ks     qs=βs‖βs‖2A=QR=[q1,⋯,qn]⋅[r1,⋯,rn]αs=[β1:s−1,βs,βs+1:n]⋅[ks10]=[q1:s,qs+1:n]⋅[‖β1:s‖20]∘[k1:s10]

        首先使用Schmidt求出正交向量组q,然后通过Schmidt公式反推出αq的线性表出关系r

      2. Householder变换

        αi=Bi:m,i(i)    ‖ρi‖2=‖αi‖2     ui=αi−ρie1‖αi−ρie1‖2H~i=I−2uiuiH    B(i+1)=[Ii0T0H~i]B(i)    B(1)=A

        ρi⋅αie1要是实数,也就是ρi必须和αie1αi的第1个元素)在复数域上形式相同。

  7. 第7章 广义逆矩阵

    1. Ax=b有解

      AA+b=b,通解为x=A+b+(I−A+A)yy∈Cn任意,极小范数解x0=A+b

    2. Ax=b无解

      AA+b≠b,通解为x=A+b+(I−A+A)yy∈Cn任意,极小范数最小二乘解x0=A+b

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