数据结构—算法的时间复杂度

1、什么是时间复杂度

      一般情况下，算法中基本语句重复执行的次数是问题规模n的某个函数f(n)，算法的时间量度记作T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度(Time complexity)。

2、为什么要学习时间复杂度

     首先我们知道一道算法题可以用多种算法来实现，算法在编写成可执行程序之后，运行时则需要消耗时间资源和空间资源，那么判断一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢。

3、时间复杂度分析方法的特点

• 不依赖具体的执行环境
• 不用具体的测试数据
• 在算法实现之前，在脑海中就可以评估算法的性能

4、时间复杂度的类型

1）常数阶O(1)

int x = 5;
int y = 10;
int result = x + y;
System.out.println(result);

第一行语句执行1次

第二行语句执行1次

第三行语句执行1次

第四行语句执行1次

f(n) = 4          T(n) = O(4)         T(n) = O(1)

只要你的程序执行的时间和输入数据规模n没有关系的话，即使需要成千上万行的代码，那么你的程序时间复杂度仍然是O(1)

2）对数阶O(log₂n)

int i = 1;
for(;i <= n;i += i){
       System.out.println(i);
}

第一次：i = 1      即 i = 2^(1-1) = 2⁰

第二次：i = 2      即 i = 2^(2-1) = 2¹

第三次：i = 4      即 i = 2^(3-1) = 2²

第四次：i = 8      即 i = 2^(4-1) = 2³

第五次：i = 16    即 i = 2^(5-1) = 2⁴

………………..

第x次：i = 2^(x-1)

因为 i <= n，所以2^(x-1) <= n，得到：x = 1 + log₂n

f(n) =(4 + 3log₂n)       T(n) =O(4 + 3log₂n)      O(n) = log₂n

再一例

int i = 1;
for (; i <= n; i = i * 3){
         System.out.println(i);
}

第一次：i = 1      即 i = 3^(1-1) = 3⁰

第二次：i = 3      即 i = 3^(2-1) = 3¹

第三次：i = 9      即 i = 3^(3-1) = 3²

第四次：i = 27    即 i = 3^(4-1) = 3³

第五次：i = 81    即 i = 3^(5-1) = 3⁴

………………..

第x次：i = 3^(x-1)

因为 i <= n，所以3^(x-1) <= n，得到：x = 1 + log₃n

f(n) =(4 + 3log₃n)       T(n) =O(4 + 3log₃n)      O(n) = log₃n

log₃n = log₃2 * (log₂n)

O(log₃n) = O(Clog₂n)，其中常量C = log₃2

O(log₃n) = O(log₂n)

3）线性阶O(n)

for (i = 1; i <= n; ++1)
{
     j = i;
     j++;
}

第一行语句执行1+2n次

第二行语句执行n次

第三行语句执行n次

f(n) = 1+ 4n     T(n) = O(1 + 4n)    O(n) = n

4）线性对数阶

     线性对数阶其实很好理解，就是将时间复杂度为对数阶的语句执行n遍。

5）平方阶O(n²)

for (x = 1; i <=n;x++)
{
  for(i = 1;i <=n;i++)
  {
         j = i;
         j++;
   }
}

第一行语句执行1+2n次

第二行语句执行2n次

第三行语句执行n*n次

第四行语句执行n*n次

f(n) = 1+4n+2n²      T(n) = O(1+4n+2n²)     O(n) = n²

6）立方阶O(n³)

    与平方阶类似。平方阶是双层循环嵌套，则立方阶就是三层循环嵌套。

5、时间复杂度法则

1）加法法则

private static long sum(int n){
      int sum1 = 0;
      for (int i = 1; i <= 1000; i++){
           sum1 += i;
      }
     
      int sum2 = 0;
      for (int i = 1;i <= n; i++){
           sum2 += i;
      }
 
      int sum3 = 0;
      for (int i = 1;i <= n; i++){
           for (int j = 1; j <= n; j++)
                sum3 += i;    
      }
}

第一段for循环语句时间复杂度为O(1)

第二段for循环语句时间复杂度为O(n)

第三段for循环语句时间复杂度为O(n²)

如果：T₁(n) = O(f(n))   T₂(n) = O(f(n))    那么：T(n) = max(T₁(n),T₂(n)) = max(O(f(n)),O(g(n))) = O(max(f(n),g(n)))

所以此算法的时间复杂度为O(n²)

再一例

private static long sum_1(int n,int m){
      int sum1 = 0;
      for(int i = 1; i <= 1000;i++){
           sum1 += 1;
      }
     
      int sum2 = 0;
      for (int i = 1; i <= n; i++){
         sum2 += i;
      }
  
      int sum3 = 0;
      for (int i = 1; i <= m; i++){
          sum3 += i;
      }

      return sum1 + sum2 + sum3;
}

第一段for 循环语句时间复杂度为O(1)

第二段for循环语句时间复杂度为O(n)

第三段for循环语句时间复杂度为O(m)

此算法的时间复杂度为O(n + m)

2）乘法法则

private static long sum_3(int n){
     int sum = 0;
     for (int i = 1; i <= n; i++){
             sum += sumSquare(i);
     }
     return sum;
}

private static long sumSquare(int n){
     int res = 0;
     for (int i = 1; i <= n; i++){
             res += (i * i);
     }
     return res;
}

第一段语句时间复杂度为O(n)

第二段语句时间复杂度为O(n)

如果： T1(n) = O(f(n))  T2(n) = O(g(n))   那么：T(n) = T1(n)*T(n) = O(f(n)*O(g(n))) = O(f(n)*g(n))

此算法的时间复杂度为O(n*n)

6、常用时间复杂度的排序

从小到大：O(1) < O(log₂n) < O(nlog₂n) < O(n²⁾ < O(n³⁾ < O(2n) < O(3n) < O(n!) < O(nⁿ⁾

原文地址：http://www.cnblogs.com/Santariki/p/16789835.html