2022-方浩十套卷-数学一

2022-方浩10-1

本来只打算做小题，但小题仿佛没啥可讲的。。

T₁₆ 在 \(X=\dfrac14\) 的条件下，\(Y\) 的条件概率密度函数表达式为 \(f_{Y|X}(y|x=\dfrac14)\) —— 按规范这么写

T₁₈ 大题倒是有一道有趣的，求 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{f(y_n)-f(x_n)}{y_n-x_n}\)，凑导数拆成两部分后，分成两个 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\) 再加起来的做法是错的，因为它们的极限未必存在

• 正解是 \(f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+[f^{‘}(x_0)+\alpha]\Delta x\)，其中 \(\alpha\rightarrow 0(\Delta\rightarrow0)\)，然后夹逼做（张宇1000题第三章的最后一道）

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T₂ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)\ \ \exist,\,\lim_{x\rightarrow+\infty}f^{”’}(x)=0\)，问 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f^{‘}(x),\,\lim_{x\rightarrow+\infty}f^{”}(x)\)：利用泰勒，注意到这里是 \(x\rightarrow+\infty\)

• \(f(x+1)\) 展开到 \(f^{”’}(\xi)\)，\(f(x-1)\) 展开到 \(f^{”’}(\zeta)\)
• 注意到\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x+1)=\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x-1)=\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)\) 以及 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f^{”’}(\xi)=\lim_{x\rightarrow+\infty}f^{”’}(\zeta)=0\)
• 取极限即可算出中间的 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f^{‘}(x),\,\lim_{x\rightarrow+\infty}f^{”}(x)\)

T₃ 函数的平均值：函数通过移动平均后，其对应曲线的起伏变化会变小，也就是曲线被抹平滑了，而平均的区间越长，抹平滑的效果越好

T₄ 第二类曲线积分的对称性：分析不同象限内 \(\mathrm{d}x\) 或 \(\mathrm{d}y\) 的正负性，结合被积函数对称性来综合判断

T₁₃ 秒斜渐近线的时候，不要随手把常数项给扔了，如 \(\dfrac{2x^2}{x+1}\neq 2x\)，化简出 \(o(1)\) 才保险

T₂₂ 二阶矩估计：原点矩 \(EX^2=\dfrac{(n-1)S^2}{n}+\bar{X}^2\)；中心矩 \(DX=S^2\) —— 感觉还是按原点矩来吧

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T₃ 经典的正项级数 \(\sum a_n\) 收敛 \(\Rightarrow\) \(\sum\dfrac{\sqrt{a_n}}{n}\) 收敛，直接记住为好

T₅ \(Ax=b\) 有解 \(\xi_1,\,\xi_2\)，则以下向量也是 \(Ax=b\) 解的是？这道题首先是 \((\xi_1,\,\xi_2\ \vdots\ \alpha_1,\,\alpha_2,\,\alpha_3,\,\alpha_4)\) 有解，其次再是特解 \(x^*\) 的系数为 \(1\)

T₉ \(U=\max(X,\,Y)\)，则 \(F_U(u)=F_X(u)F_Y(u)\) ？\(X,\,Y\) 首先要独立！

T₁₀ \(H_0\) 为 \(\mu=0\)，取拒绝域为 \(\{\bar{x}>0.4\}\) 当 \(\mu=1\) 时，犯第二类错误的概率为？概率就是 \(P\{\bar{X}\leqslant 0.4|\mu=1\}\)：接受实际不真的假设

T₁₂ 积分（尤其多重的积分）注意区间！

T₁₅ 三阶行列式 \(|A|\) 元素均为 \(\pm1\)，则 \(|A|\) 取值只能是 \(0,\,4,\,-4\)：联系几何，就是三个向量混合积，看起来体积只有一种（当然还有共面的情况）

T₁₆ \(t(1)\) 分布，求 \(P\{T\leqslant1\}\)：正常方法就 \(\dfrac12+\dfrac12P\{X^2<Y^2\}\)，不过这里还是个标准柯西分布

• \(C(1,\,0)\) 标准柯西分布：\(f(x)=\dfrac{1}{\pi(1+x^2)}\)，这是一种数学期望与方差均不存在的分布。\(t(1)\) 即 \(C(1,\,0)\)

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T₄ \(f^{”}(x)\neq0\)，证明 \(f(x)=xf^{‘}(\theta x)(0<\theta<1)\) 有且仅有唯一解。而关于求 \(\theta\) 的极限，两种方法看看还记不记得

T₈ 几何分布无记忆性（和指数分布一样）：\(P\{X>s+t|X>t\}=P\{X>s\}\)

T_10,16 求置信区间的置信水平，其实就是求被估计的未知参数落在区间内的概率

T₁₅ \(f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}\)，且存在 \(n\) 个互不相同的零点，如何证明 \(f(x)\equiv0\)：罗尔定理

T₁₉ 周 一 振 动 ， 类 目（doge）

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T₆ 行变换求正负惯性系数 —— 略作改进，\((A\ \vdots\ E)\overset{只能E_{ij}(k)}\longrightarrow(B\ \vdots\ P^T)\)，其中 \(B\) 是上三角阵，如此一来就求出来配方法的 \(P\)，可用于大题的验算

T₁₀ 估计 \(\sigma^2\)，\(\mu\) 已知的时候是 \(\dfrac{\sum(X_i-\mu)}{\sigma_0^2}\sim\chi^2(n)\)，\(\mu\) 未知的时候才是 \(\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2_0}\sim\chi^2(n-1)\)

T₁₃ 这里 \(y=-\dfrac{2}{x^2+2C}\) 和 \(y=-\dfrac{2C}{Cx^2+2}\) 其实都有漏解，不过通解不是全解，应该是不需要补解的

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T₁ \(f(x)\) 连续，在 \(x_0\) 可导，且 \(f^{‘}(x_0)>0\)，推不出 \(\exist\delta>0,\,s.t.\ f(x)\) 在 \((x_0,\,x_0+\delta)\) 单调增加：振荡的三角函数，在任意小的邻域内都有增有减（而且也没说 \(f^{‘}\) 连续）

T₃ 判断极值点的正负，有时可以代换掉一部分，如本题极值点 \(\mathrm{e}^{-x_0}=2-2x_0\)，于是 \(f(x_0)=1-x_0^2\)，和 \(\pm1\) 比较就好了。有高中那味了，类目

T₁₆ 按说二阶矩估计应该用原点矩吧，原点矩的话那就是 \(\hat{\theta}=\sqrt{3\left(\dfrac{n-1}{n}S^2+\bar{X}^2\right)}\)

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T₂ 正常做法就换序，当然也可以直接求导，\(\displaystyle F^{‘}(1)=\int_{t^2}^{t^2}\square+\int_0^{t^2}\left(2t\mathrm{e}^{x+t^2}\cos\pi t\right)\,\mathrm{d}x\Big|_{x=1}=\int_0^1\left(2\mathrm{e}^{x+1}\cos\pi\right)\,\mathrm{d}x\)

T₈ 注意 \(F(x)=\alpha\Phi(x)+(1-\alpha)\Phi(\dfrac{x-1}{2})\)，并不是正态分布，与 \(Z=\alpha X+(1-\alpha)Y\) 不同

T₁₀ 重期望公式 \(X\sim N(0,\,1)\)，在 \(X=x\) 的条件下，\(Y\sim N(x,\,\dfrac12)\)

• \(E(Y)=E_X[E(Y|X)]=E_X(X)=0\)
• \(D(Y)=E_X[D(Y|X)]+D_X[E(Y|X)]=E_X(\dfrac12)+D_X(X)=\dfrac12+\dfrac12=1\)

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