来一发莫比乌斯反演的题解。
\[\begin{split} ans & =\sum^{n-1}_{i=1} \sum^{n-1}_{j=1} [\gcd(i,j)=1]\\ & = \sum^{n-1}_{i=1} \sum^{n-1}_{j=1} \sum_{d|\gcd(i,j)} \mu(d)\\ & = \sum^n_{d=1}\mu(d)\sum^{\frac{n-1}{d}}_{i=1}\sum^{\frac{n-1}{d}}_{j=1}\\ & =\sum^n_{d=1}\mu(d)\times\left(\dfrac{n-1}{d}\right)^2 \end{split} \]
\(\dfrac{n-1}{g}\) 可以用数论分块求出。
//P2158 [SDOI2008] 仪仗队
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
using namespace std;
const int MAXN=40005;
int prime[MAXN],cnt,mu[MAXN],s[MAXN],n,ans;
bool flag[MAXN];
void sieve()
{
mu[1]=1;
for(int i=2;i<=4e4;i++)
{
if(!flag[i])
{
prime[++cnt]=i;
mu[i]=-1;
}
for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=4e4;j++)
{
flag[i*prime[j]]=true;
if(i%prime[j]==0)
{
break;
}
mu[i*prime[j]]=-mu[i];
}
}
return;
}
int main()
{
sieve();
scanf("%d",&n);
if(!--n)
{
printf("0\n");
exit(0);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
s[i]=s[i-1]+mu[i];
}
for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
{
r=n/(n/l);
ans+=(s[r]-s[l-1])*(n/l)*(n/r);
}
printf("%d\n",ans+2);
return 0;
}
/*
* 洛谷
* https://www.luogu.com.cn/problem/P2158
* C++17 -O0
* 2022.10.12
*/
原文地址:http://www.cnblogs.com/2020gyk080/p/16784088.html
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