[NOIP2021] 方差

题目描述

给定长度为 \(n\) 的非严格递增正整数数列 \(1 \le a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_n\)。每次可以进行的操作是：任意选择一个正整数 \(1 < i < n\)，将 \(a_i\) 变为 \(a_{i – 1} + a_{i + 1} – a_i\)。求在若干次操作之后，该数列的方差最小值是多少。请输出最小值乘以 \(n^2\) 的结果。

其中方差的定义为：数列中每个数与平均值的差的平方的平均值。更形式化地说，方差的定义为 \(D = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(a_i – \bar a)}^2\)，其中 \(\bar a = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} a_i\)。

输入格式

输入的第一行包含一个正整数 \(n\)，保证 \(n \le {10}^4\)。

输入的第二行有 \(n\) 个正整数，其中第 \(i\) 个数字表示 \(a_i\) 的值。数据保证 \(1 \le a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_n\)。

输出格式

输出仅一行，包含一个非负整数，表示你所求的方差的最小值的 \(n^2\) 倍。

样例 #1

样例输入 #1

4
1 2 4 6

样例输出 #1

52

样例 #2

样例输入 #2

见附件中的 variance/variance2.in

样例输出 #2

见附件中的 variance/variance2.ans

样例 #3

样例输入 #3

见附件中的 variance/variance3.in

样例输出 #3

见附件中的 variance/variance3.ans

样例 #4

样例输入 #4

见附件中的 variance/variance4.in

样例输出 #4

见附件中的 variance/variance4.ans

提示

【样例解释 #1】

对于 \((a_1, a_2, a_3, a_4) = (1, 2, 4, 6)\)，第一次操作得到的数列有 \((1, 3, 4, 6)\)，第二次操作得到的新的数列有 \((1, 3, 5, 6)\)。之后无法得到新的数列。

对于 \((a_1, a_2, a_3, a_4) = (1, 2, 4, 6)\)，平均值为 \(\frac{13}{4}\)，方差为 \(\frac{1}{4}({(1 – \frac{13}{4})}^2 + {(2 – \frac{13}{4})}^2 + {(4 – \frac{13}{4})}^2 + {(6 – \frac{13}{4})}^2) = \frac{59}{16}\)。

对于 \((a_1, a_2, a_3, a_4) = (1, 3, 4, 6)\)，平均值为 \(\frac{7}{2}\)，方差为 \(\frac{1}{4} ({(1 – \frac{7}{2})}^2 + {(3 – \frac{7}{2})}^2 + {(4 – \frac{7}{2})}^2 + {(6 – \frac{7}{2})}^2) = \frac{13}{4}\)。

对于 \((a_1, a_2, a_3, a_4) = (1, 3, 5, 6)\)，平均值为 \(\frac{15}{4}\)，方差为 \(\frac{1}{4} ({(1 – \frac{15}{4})}^2 + {(3 – \frac{15}{4})}^2 + {(5 – \frac{15}{4})}^2 + {(6 – \frac{15}{4})}^2) = \frac{59}{16}\)。

【数据范围】

对于所有的数据，保证 \(1 \le n \le {10}^4\)，\(1 \le a_i \le 600\)。