本文将总结现代密码学 (Modern Cryptography) 中的常见数学符号, 了解以下预备知识可以极大增加本文的阅读体验:
- 离散数学, 线性代数与概率论三门课程中的主要数学记号及其含义 ?
- 现代密码学是一门什么样的学科 ?
- LaTeX 的基本用法与常见数学符号命令有哪些 ?
在阅读密码学相关的论文时会遇到各类符号, 即使有的论文命名法和符号风格不同, 但在符号使用规律上基本都保持一致. 因此, 本文将持续性地总结记录现代密码学中的常见符号和表示法, 方便查阅参考, 并还会结合 LaTeX 相关命令给出示例和一些实用技巧.
符号风格
密码学中涉及符号的风格与使用规范遵循一般的数学公式表示规范, 而这些规定通常是约定俗成的. 具体而言有:
- 斜体表示: 如\(x,m,n\), \(X, Y, Z\)等斜体形式通常用于表示变量 (variable), 如第\(i\)个正整数是\(n\); 如果遇到斜体加粗, 则一般表示的是某个随机变量或随机样本.
- 正体表示: 如\(\mathsf{X},\mathsf{Y}\)等正体形式通常用于表示矩阵或某种变换 (transform).
- 花体表示: \(\mathcal{E}\), \(\mathcal{X}\)等花体形式通常表示集合概念, 因此有时会有 \(x\in \mathcal{X}\).
- 空心表示: \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{Q}\)等空心形式通常表示空间, 域等, 这些符号表示的范围通常是比花体和正体表示都要大的.
- LaTeX 特殊字体: 在实际的论文写作中，某些特殊符号或者术语样式需要用到 LaTeX 中的各类字体样式命令，常见命令如
\textit,\textsf,\texttt,\mathsf等。 更多信息可以参阅刘海洋老师的《LaTeX入门》第二章.
在了解上述常见符号风格后, 即使在论文中遇到没见过而且作者似乎也没解释的记号, 也可以通过记号的书写风格来结合上下文推测这一记号的大致特点.
主要符号总结
下面我们将从三个方面总结现代密码学中的主要符号, 首先就是最基础也是最常见的各种运算符了.
运算符
二元运算符
| 名称 | 符号 | 含义 | LaTeX 命令 | 使用情景 |
|---|---|---|---|---|
| 异或 | \(\oplus\) | 01串 (或两数) 之间的异或操作 | \oplus |
One Time Pad |
| 连接 | \(||\) | 顺序连接两个串 | || |
将两个串拼接后输入一个算法 |
| 组合作用 | \(\circ\) | 两个函数作用的”组合” | \circ |
密码理论分析, 白盒密码， 同态 |
| 代数运算 | \(\cdot\), \(+\) | (模) 乘, (模) 加 | \cdot, + |
代数运算, RSA等公钥密码算法 |
| 移位 | \(<<,>>\) | 将一个数的二进制向左或向右移动若干位 | <<,>> |
各类算法(如MD5, SM4)的底层运算 |
概率与取样
在现代密码学涉及的基础知识中, 概率论是很重要的一环. 在密码算法的可证明安全中, 概率论与随机过程的相关知识更是充当了核心角色. 因此,虽然有些符号并非运算符, 但为了方便也将在本处一并进行介绍. (由于博客园的markdown编辑器无法转义美元符号, 因此下文中的dollar_sign要记得替换)
| 名称 | 符号 | 含义 | LaTeX 命令 | 使用情景 |
|---|---|---|---|---|
| 采样 | \(\leftarrow\) | 从某一集合中采样出某个样本 | \leftarrow |
生成某一元素进行后续操作 |
| 随机采样 | $$\stackrel{$}{\leftarrow}$$ | 从某一集合中随机采样出某个样本 | \stackrel{\dollar_sign}{\leftarrow} |
生成随机数 |
| 概率 | \(\mathrm{Pr}\) | 计算某一事件的概率 | \mathrm{Pr} |
衡量可证明安全中的各类事件发生的概率 |
| 集合 | \(\left\{\cdots\right\}\) | 离散数学中集合的概念 | \left\{\cdots\right\} |
各类密码算法与协议 |
| 概率分布 | \(\sim\) | 变量服从概率分布 | \sim |
基于格的算法与困难问题中的变量分布特征 |
| 可忽略概率 | \(\epsilon\) | 在安全参数\(\lambda\)的多项式级别下的极小量 | \varepsilon |
可证明安全的敌手优势说明 |
| 期望 | \(E\) | 计算某一随机变量或者分布的数学期望 | E |
基于格的算法证明中的相关计算 |
当然, 在数学中还有很多其他常见的二元运算符 (例如线性代数, 抽象代数中的一大堆记号), 此处我们只介绍密码学中常用的符号及其在密码学中的用途. 如其他需要补充说明, 欢迎分享你的建议 !
常用记号
除了常用的运算符外, 在阅读各类密码学的论文时, 最令人头疼的想必是各类繁杂的数学记号了. 但好在各个记号在不同论文中的写法基本都是统一的, 只是花样众多, 令人眼烦, 我们通常只需要在第一次遇见的时候记住就可以了.
算法记号
对称密码算法
| 名称 | 符号 | 含义 | LaTeX 命令 | 使用情景 |
|---|---|---|---|---|
| 密钥 | \(K\) | 对称密码算法的密钥 | K |
对称密码算法中双方共享一密钥 |
| 密钥生成 | \(\mathrm{Gen}(1^{\lambda})\) | 根据安全参数\(\lambda\)生成算法密钥 | \mathrm{Gen}(1^{\lambda}) |
许多对称密码算法的第一步 |
| 加密 | \(\mathsf{Enc}\) | 将明文加密为密文 | \mathsf{Enc} |
对称加密算法的主要步骤 |
| 解密 | \(\mathsf{Dec}\) | 将密文解密为明文 | \mathsf{Dec} |
对称加密算法的主要步骤 |
| 消息认证码生成 | \(\mathsf{Mac}\) | 根据对称密钥生成某条消息对应的消息认证码 | \mathsf{Mac} |
HMAC等MAC算法 |
| 消息认证码验证 | \(\mathsf{Vrfy}\) | 根据对称密钥验证某个消息认证码是否正确 | \mathsf{Vrfy} |
HMAC等MAC算法 |
公钥密码算法
| 名称 | 符号 | 含义 | LaTeX 命令 | 使用情景 |
|---|---|---|---|---|
| 公钥 | \(\mathsf{Pk}\) | 可公开的密钥 | \mathsf{Pk} |
公钥算法, PKI等 |
| 私钥 | \(\mathsf{Sk}\) | 与公钥对应的需要秘密保存的私钥 | \mathsf{Sk} |
公钥算法 |
| 密钥生成 | \(\mathsf{Gen}(1^{\lambda})\) | 根据安全参数\(\lambda\)生成一对公私钥 | \mathsf{Gen}(1^{\lambda}) |
公钥算法 |
| 公钥加密 | \(\mathsf{Enc}(\mathsf{Pk}, \cdot)\) | 计算某一事件的概率 | \mathrm{Pr} |
加密只有私钥拥有方才能解密的信息 |
| 私钥解密 | \(\mathsf{Dec}(\mathsf{Sk}, \cdot)\) | 离散数学中集合的概念 | \left\{\cdots\right\} |
略 |
| 私钥签名 | \(\mathsf{Sign}(\mathsf{Sk}, \cdot)\) | 在安全参数\(\lambda\)的多项式级别下的极小量 | \varepsilon |
可证明安全的敌手优势说明 |
| 公钥验签 | \(\mathsf{Vrfy}(\mathsf{Pk}, \cdot)\) | 在安全参数\(\lambda\)的多项式级别下的极小量 | \varepsilon |
略 |
| 采样函数 | \(\mathsf{Samp}\) | 均匀选取集合中的元素 | \mathsf{Samp} |
单向置换 |
| 逆置换 | \(\mathsf{Inv}\) | 拥有陷门信息后的高效逆置换算法 | \mathsf{Inv} |
基于陷门置换的公钥加密 |
值得一提的是, 公钥算法发展至今有很多种类, 也有很多高阶方案, 如门限加密, 秘密共享, 同态加密, 可搜索加密和函数加密等等. 不同的高阶方案也衍生出了各自的算法符号范式, 诸如\(\mathsf{Trap}\), \(\mathsf{Index}\)等等. 由于这些零散记号和方案本身的特点紧密相关, 并非是公钥方案的共性操作. 故此处就不作进一步介绍.
密码学哈希
| 名称 | 符号 | 含义 | LaTeX 命令 | 使用情景 |
|---|---|---|---|---|
| 计算哈希摘要 | \(H\) | 从某一集合中采样出某个样本 | \leftarrow |
生成某一元素进行后续操作 |
| 带密钥的哈希 | \(H(K, \cdot)\), \(H_{K}(\cdot)\) | 从某一集合中随机采样出某个样本 | H(K, \cdot), H_{K}(\cdot) |
HMAC |
模糊提取器
| 名称 | 符号 | 含义 | LaTeX 命令 |
|---|---|---|---|
| 初始化 | \(\mathsf{init}(1^{\lambda})\) | 生成公开模糊提取器的公开参数\(\mathsf{pp}\) | \mathsf{init}(1^{\lambda}) |
| 生成字符串 | \(\mathsf{Gen}(\mathsf{pp,w;r})\) | 根据\(\mathsf{pp}\),元素\(\mathsf{w}\)与随机性\(\mathsf{r}\)生成字符串\(R\)与公开的帮助字符串\(P\) | \mathsf{Gen}(\mathsf{pp,w;r}) |
| 提取字符串 | \(\mathsf{Rep}(\mathsf{pp,w\prime;}P)\) | 根据\(\mathsf{pp}\),相近元素\(\mathsf{w\prime}\)与帮助字符串\(P\)还原字符串\(R\) | \mathsf{Rep}(\mathsf{pp,w\prime;}P) |
哈希证明系统
一般的哈希证明系统通常是一个非交互的零知识系统, 此处主要指的是Smooth Projective Hash Proof System (SPHFs)
| 名称 | 符号 | 含义 | LaTeX 命令 |
|---|---|---|---|
| 生成哈希密钥 | \(\mathsf{HashKG}(\mathsf{pp})\) | 根据语言系统的参数\(\mathsf{pp}\)生成哈希密钥\(hk\) | \mathsf{HashKG}(\mathsf{pp}) |
| 派生投影密钥 | \(\mathsf{ProjKG}(hk,\mathsf{pp},x)\) | 根据语言\(x\), \(\mathsf{pp}\)与哈希密钥\(hk\)派生出投影密钥\(hp\) | \mathsf{ProjKG}(hk,\mathsf{pp},x) |
| 计算哈希 | \(\mathsf{Hash}(hk,\mathsf{pp},x)\) | 根据语言\(x\), \(\mathsf{pp}\)与哈希密钥\(hk\)计算哈希值\(H\) | \mathsf{Hash}(hk,\mathsf{pp},x) |
| 计算投影哈希 | \(\mathsf{ProjHash}(hp,\mathsf{pp},x,w)\) | 根据语言\(x\), \(\mathsf{pp}\)与派生密钥\(hp\)和一个证据\(w\)计算出投影哈希值\(pH\) | \mathsf{ProjHash}(hp,\mathsf{pp},x,w) |
可证明安全记号
| 名称 | 符号 | 含义 | LaTeX 命令 | 使用情景 |
|---|---|---|---|---|
| 敌手 | \(\mathcal{A}\) | 可证明安全中试图解决攻破方案的假想攻击者 | \mathcal{A} |
\(\mathcal{A}\) 尝试攻破加密算法的不可区分性 |
| 挑战者 | \(\mathcal{C}\) | 可证明安全中试图解决困难问题的挑战者 | \mathcal{C} |
\(\mathcal{C}\) 尝试解决大整数分解问题 |
| Oracle | \(\mathcal{O}\) | 经抽象后的证明过程中可被查询的预言机 | \mathcal{O} |
算法的加解密部分被抽象为了\(\mathcal{O}\)供\(\mathcal{A}\)或\(\mathcal{C}\)提交明密文查询 |
| 标志 | \(\mathsf{bad}\) | 用来指示证明过程中某些事件的发生 | \mathsf{bad} |
当加密得到的密文产生了碰撞时, 是一个\(\mathsf{bad}\)事件 |
| 证明游戏 | \(\mathsf{Game}\) | 为安全性证明定义的挑战者与敌手的交互模型 | \mathsf{Game} |
定义\(\mathcal{A}\)与\(\mathcal{O}\)的若干次选择明文查询是一个\(\mathsf{Game}\) |
其他常用符号
在密码算法中还有一些常用的符号, 如对字符串数据的一些操作. 如有其他常用符号也欢迎大家补充.
| 名称 | 符号 | 含义 | LaTeX 命令 | 使用情景 |
|---|---|---|---|---|
| 字符串长度 | \(|s|\) | 得到字符串\(s\)的长度 | \left|s\right| |
密码算法输入 |
| 全0字符串 | \(0^{n}\) | \(n\)-bit 长的全0字符串 | 0^{n} |
略 |
| 全1字符串 | \(1^{n}\) | \(n\)-bit 长的全1字符串 | 1^{n} |
略 |
| 字符串分块 | \(||s||_{l}\) | 将字符串\(s\)分为\(l\)块, 每块长度为\(\lceil \frac{|s|}{l} \rceil\) bit | ||s||_{l} |
对分组算法中的每一块进行加解密 |
量子密码算法符号
在量子密码算法中会涉及很多量子力学的操作与符号, 而这些符号其实都遵循着狄拉克记号法, 也就是所谓的Bra-ket notation. 不过在我们第一次遇到量子密码算法时, 看到这些符号依然会头大, 下面初步总结了一些常用记号方便检索.
注意, 量子密码算法都是在一个或若干个希尔伯特空间 (\(\mathcal{H}\)) 中的, 此时算法的状态会被抽象为一个\(\mathcal{H}\)中的状态矢量\(\psi\), 因此这部分的操作与符号有些和线性代数也是通用的.
| 名称 | 符号 | 含义 | LaTeX 命令 |
|---|---|---|---|
| 右矢 | \(|\psi \rangle\) | 可理解为线性空间中的某个向量 | | \psi \rangle |
| 左矢 | \(\langle \psi |\) | 某个右矢对应的共轭矢量 | \langle \psi | |
| 矢量间的内积 | \(\langle a | b \rangle\) | 两矢量间进行内积运算 | \langle a | b \rangle |
| 矢量间的外积 | \(|a\rangle \langle b |\) | 两矢量间进行外积运算 | |a\rangle \langle b | |
| 张量积 | \(\otimes\) | 希尔伯特空间的张量积, 如\(\mathcal{H_{1}}\otimes \mathcal{H_{2}}\)形成一个组合系统 | \otimes |
| 共轭转置 | \(U^{\dag}\) | 矩阵的共轭转置, 被用来描述\(\mathcal{H}\)上的幺正变换 | U^{\dag} |
| 概率坍缩 | \(|\langle a | \psi \rangle|^{2}\) | 经过某一量子系统变换后, 从叠加态\(\psi\)观测到状态\(a\)的概率 | |\langle a | \psi \rangle|^{2} |
| 状态叠加 | \(\sum |a_{i}\rangle\) | 将若干个状态\(|a_{i}\rangle\)进行叠加得到叠加态 | \sum |a_{i}\rangle |
| 量子Oracle变换 | \(\mathbf{O}|x\rangle\) | 在量子Oracle中对矢量\(|x\rangle\)进行变换得到\(|x+O(x)\rangle\) | \mathbf{O}|x\rangle |
由于我对量子力学的相关概念也不是非常熟悉, 上述记号如有错误欢迎大家指出, 也欢迎大家补充其他常见的量子密码方案记号.
LaTeX宏包 cryptocode 的使用
cryptocode是一个专门为了密码学研究者提供的 LaTeX 宏包, 而且这一宏包已经默认加入了texlive2022中, 使用时无需额外安装, 只需要\usepackage[your_options]{cryptocode}就能引入. 而且这个宏包的文档非常全面, 基本可以做到即查即用. 这里就拾人牙慧, 简单介绍几个最常用的命令.
常用符号
上文提到的很多运算符号, 其实已经都在cryptocode中封装好了, 尤其是一些呈现方式简单, 但 LaTeX 命令复杂的运算, 可以用cryptocode提供的更容易记忆和使用的短命令.
| 名称 | cryptocode命令 | 等价 LaTeX 命令 |
|---|---|---|
| 随机采样 | \sample |
\leftarrow |
| 标志 | \bad |
\mathsf{bad} |
| 0-1集合 | \bin |
\left\{0, 1\right\} |
| 概率 | \prob |
\mathsf{Pr} |
| 敌手优势 | \advantage |
\mathsf{Adv} |
| 密钥生成 | \kgen |
\mathsf{KGen} |
上述这些符号只是cryptocode封装的很小一部分, 官方说明文档中会有更多描述.
算法
在密码学论文中, 除了那些常见符号外, 还会需要用 LaTeX 的algorithm环境呈现算法方案. 而在cryptocode中则可以直接用procedureblock, 效果如下图所示.
而对应的 LaTeX 代码也更为简洁, 无需像原来algorithm包那样写过多不必要的关键字.
\procedureblock {$\indcpa_\enc^\adv(\secpar)$}{
b \sample \ bin \\
(\pk, \sk) \sample \kgen(\secparam) \\
(m_0, m_1) \sample \adv(\secparam ,\pk, c)\\
c \sample \enc(\pk ,m_b)\\
b' \sample \adv(\secparam, \pk, c)\\
\pcreturn b = b’
}
Game-based 安全证明
一篇理论密码方案论文的核心就是它的安全性证明了, 而在写一些game-based proof 时, 我们常常需要借助 \(\mathsf{bad}\) 等符号标注出一个game里有利于敌手的那些事件. 要表达这样一件事, 一般需借助table环境以及一些文本样式命令. 然而, cryptocode也提供了这方面的封装, 如下图所示.
此外, 除了最基本的这种game-based proof外, 它还提供了game hopping, reduction等的命令封装, 这能极大地减少密码学研究者在撰写论文时的麻烦.
密码协议
在密码学中还有很多协议（Protocol）相关的工作，而对于我个人而言，通过drawio等工具画协议图还是有些繁琐了，而且如果数学公式较多的话在校对和排版上都存在着不少缺陷; 而原生tikz的作图效果很漂亮，但学习和使用成本太高。
而在cryptocode中，可以同样使用procedureblock命令与缩进指令 (tabbing) \>方便地通呈现一个密码协议，如下图所示。
总结
本文总结了传统密码学与量子密码方案中的常见记号与对应的 LaTeX 代码, 以缓解记忆密码学论文中繁琐符号含义所带来的烦躁心情🤡. 本文内容也将会动态更新, 在后续的学习过程中会不断添加新遇到的各类记号, 也欢迎大家分享和指正. 文章所在的专栏 包括了其他密码学相关的文章, 欢迎阅读并给出意见! 最后以一句歌词作为结束.
“你让任务如期完成并划下记号, 现在或悠悠闲闲带爱子散步” ——李克勤《再见穿梭机》
原文地址：http://www.cnblogs.com/max1z/p/16841472.html
